Я хочу привести высказывание народного артиста
России, пианиста, педагога, доктора искусствоведения Генриха Густавовича
Нейгауза: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и
противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних
полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и
определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними
размещается все, что человечество создало в области науки и искусства». Немного
непривычно слышать подобные слова из уст музыканта. Казалось бы, искусство –
весьмя отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки
обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика –
самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства.
«Чистая
математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные
отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот
факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь
слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии
исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить
их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное»
(Энгельс Ф.). Абстрактность математики, однако, не означает её отрыва от
материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и
естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение
математики наполняется всё более богатым содержанием.
Существует
две математики.
Первая – изучает «реальные»
математические структуры, существующие независимо от открывших их математиков.
Это и есть прикладная математика. Но результаты прикладной математики дают
иногда неожиданные и важнейшие следствия. Логическую взаимосвязанность
результатов науки выразил выдающийся немецкий математик, иностранный
член-корреспондент РАН, иностранный почетный член АН СССР Давид Гильберт:
«Разрешите мне принять, что дважды два – пять, и я докажу, что из печной трубы
вылетает ведьма». Красоты науки и в логической стройности, и в богатстве
связей. Ощущение красоты помогает проверять правильность результатов и
отыскивать новые законы. Это ощущение – отражение в нашем сознании гармонии,
существующей в природе. Поэтому математика оказывается точным и незаменимым
инструментом, вскрывающим красоту опытных наук.
Вторая – математика, предметом изучения
которой является искусственные конструкции, созданные математиками в процессе
их свободного творчества.
1. Ритм.
1.1. Ритм в музыке.
Ритм – основа всего музыкального движения, порядок
сочетания во времени всех элементов
музыкальной речи: мелодии, гармонии и т.д.
Рассмотрим первоначальное значение этого слова, значение
понятия «ритм», которое придавали ему древние греки. В их понимании ритм –
всякое равномерное чередование, размеренность, происходящая с определенной
частотой, последовательностью, скоростью протекания. Поэтому с ритмами мы
встречаемся на каждом шагу в повседневной жизни: день сменяется ночью, зима –
весной и т.д. Даже на улице: например, прислушайтесь к шагам: раз-два,
левой-правой…
Ритмами наполнена и математика. Вспомните ряд натуральных
чисел: 1, 2, 3, 4, 5… Ощущаете ритм. Его основа – каждое последующее число получается
из предыдущего, если к нему прибавить единицу.
С XVII века в
музыкальном искусстве утвердился тактовый (акцентный) ритм,
основанный на чередовании сильных и слабых долей.
ПРИМЕР 1. Рассмотрим русскую народную песню «Во поле берёза
стояла»:
|Во поле бе|рёза сто|яла|
|Во поле куд|рявая сто|яла|
Ударный слог называется сильной долей, не ударный - слабой. Промежуток между двумя сильными
долями называется тактом и отделяется двумя вертикальными линиями. Первая доля
такта всегда сильная. Таким образом, в каждом такте одна сильная и три слабые
доли. На первый взгляд, исключением являются последние такты, однако, это не
так.
В связи с количеством долей в такте различают простые такты
(двух- и трехдольные), сложные (четырех-, шести-, девяти-, двенадцатидольные),
смешанные (например, пятидольные). Размер такта обозначается дробью, в которой
числитель указывает на количество долей в такте, а знаменатель показывает,
какие это доли (в зависимости от их длительности). В этом смысле простыми
размерами считаются размеры: 2/4, ¾ (в числителе дробей, указывающих размер,
стоят простые числа). Размеры 4/4; 6/8 называются сложными размерами.
Надо отметить, что в математике 6/8=3/4, в музыке же – нет!
За основу размера ¾ берётся длительность ¼, а за основу размера 6/8 –
длительность 1/8.
Помимо простых и сложных размеров бывают составные
(смешанные) размеры. Составные размеры получают при сложении простых.
ПРИМЕР 2. Просмотрим партитуру Второго концерта для скрипки
с оркестром С.С.Прокопьева. В третьей части встречаются размеры: 5/4=2/4+3/4 и
7/4=3/4+2/4+2/4. Так же составной размер встречается у Н.А.Римского-Корсакова в
опере «Снегурочка».
В музыке встречается такое явление, как полиритмия и
полиметрия.
•
Полиритмия - в музыке — одновременное сочетание двух или нескольких
ритмических рисунков
•
Полиметрия - одновременное сочетание 2 или
ПРИМЕР
3: М.Глинка, опера «Иван Сусанин». (Сцена «Иван Сусанин и поляки», 3 действие):
Иван Сусанин поет в размере 2/4, а поляки – ¾.
1.2. Ритм в математике.
В математику ритм проникает как синоним слову
закономерность. Разложим число 1/81 в десятичную дробь, получим:
0,0123456791234567912345679…
В данном случае закономерностью
будет периодичность повторения группы чисел (12345679). Это записывается:
0,0(12345679)
1/3=0,33333333…=0,(3)
1/6=0,166666666…=0,1(6)
1/9=0,111111111…=0,(1)
3/7=0,(428571)
И наоборот, запишем в виде обыкновенной дроби:
0,23232323…=0,(23)=23/99.
Мы
рассмотрели несколько примеров выявления числовых ритмов. А теперь вспомним о
других математических терминах и понятиях.
2. Пифагоров квадрат.
2.1. Кратные числа
представляют собой очень красивые примеры правильных ритмов в математике.
Выпишем натуральные числа в виде т.н. квадрата Пифагора. Его особенность
состоит в том, что у чисел, стоящих в одной строке, совпадают первые числа, а у
чисел, стоящих в одном столбце – совпадают вторые числа:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
Меню сайта |
Наш опрос |
Статистика |
Календарь |
Мини-чат |
Архив записей |
Друзья сайта |
|